Simulation de thermodynamique


Cette simulation illustre le principe de transformation dans un gaz idéal monoatomique ou diatomique. L'utilisateur peut choisir le type de transformation et, selon le type transformation choisi, ajouter ou enlever de la chaleur, ou ajuster le volume du gaz manuellement. La simulation affiche le graphe P-V ou P-T en temps réel.

Quelques notes:

Le reste de cette page présente quelques résultats de thermodynamique.

Définitions des symboles

Définitions des symboles
  • P: Pression absolue, en Pascal (Pa).
  • V: Volume, en mètres cube (m3).
  • T: Température absolue, en Kelvin (K).
  • n: Le nombre de moles de gaz.
  • N: Le nombre de molécules de gaz.
  • NA: Le nombre d'Avogadro, le nombre de molécules dans une mole, approximativement égal à 6.022 x 1023
  • R: La constante du gaz parfait, approximativement égale à 8.314 J/mole.K.
  • kB: La constante de Boltzmann, approximativement égal ˆ 1.38 x 10-23 J/K
  • KE average : L'énergie cinétique de translation moyenne des molécules de gaz, en Joules (J).
  • U: L'énergie interne du gaz, en Joules (J).
  • dq: Un élément de chaleur ajoutée au gaz, en Joules (J).
  • dw: Un élément de travail effectué sur le gaz, en Joules (J).
  • Cv: La capacité; calorique à volume constant, en J/K.
  • cv: La chaleur spécifique à volume constant, en J/mole.K
  • Cp: La capacité calorique à pression constante, en J/K
  • cp: La chaleur spécifique à pression constante, en J/mole.K
  • gamma: Le rapport Cp sur Cv, égal à cp sur cv

Quelques principes fondamentaux de la thermodynamique

Lois de la thermodynamique
  • Le gaz idéal:
    PV = nRT
    ou
    PV = NkBT
  • La première loi de la thermodynamique:
    first law of thermodynamics
  • Le principe d'équipartition de l'énergie:
    L'énergie interne est la somme des énergies de translation et de rotation des molécules selon les trois dimensions de l'espace. De plus, les contributions de ces énergies cinétiques sont égales.

Quelques preuves de théorèmes

Le théorème du viriel

Le théorème du viriel est une analyse du concept de pression basé sur l'aspect mécanique des collisions des molécules sur les parois du conteneur.

Le théorème du viriel
Le théorème du viriel:
Kinetic theory
Preuve:
Le changement de quantité de mouvement selon x pour une collision est

dans un intervalle de temps Δt le nombre de collisions pour un molécule donnée est ,
ou L est la longueur du conteneur selon x. Donc, le changement de quantité de mouvement pour une molécule individuelle pendant Δt est
.
Généralisant à N molécules,
.
Utilisant la symétrie spatiale:
.
La force appliquée selon x est:
.
Utilisant la définition de la pression:
,
ou

Deux corollaires (plus ou moins directs):
La température est proportionnelle à l'énergie cinétique de translation moyenne des molécules:

Chaque degré de liberté (i.e. chaque axe de rotation ou de translation qui peut contribuer à l'énergie cinétique totale des molécules) contribue la quantité suivante à l'énergie cinétique totale:

Travail exercé sur un fluide

Ce théorème exprime le travail exercé par un fluide en fonction des variables d'état.

Travail exercé sur un fluide
Travail exercé par un fluide: work
Preuve
Le travail est défini comme W=F x déplacement. Ici F = P.A, donc W = P.A ΔL, ou W = P ΔV. Finalement, le signe du travail exercé sur le gaz est positif quand le volume diminue, donc:

Energie interne d'un gaz

Ce théorème exprime l'énergie interne d'un gaz en fonction des variables d'état.

Energie interne d'un gaz .

U en fonction des variables d'état:
pour les gaz monoatomiques
pour les gaz diatomiques


Preuve
D'après la théorie cinétiques des gaz et le principe d'équipartition, chaque degré de liberté contribue 1/2 kBT à l'énergie totale du système. Les gaz monoatomiques ont trois degrés de liberté (3 translations, 0 rotation), les gaz diatomiques ont cinq degrés de liberté (3 translations, 2 rotations)

Preuves des résultats utilisés dans cette simulation

Preuves des résultats utilisés dans cette simulation

Transformations isochores

Isochore signifie à volume constant. P et T sont les seules variables.
Nous savons:

  • Travail exercé sur un fluide:
  • Théorème du viriel:
    (Monoatomique)
    (Diatomique)
  • Première loi de la thermodynamique:
Par simple substitution
(monoatomique)
(diatomique)
Par intégration:
(monoatomique)
(diatomique)

Il est alors possible de trouver P en utilisant la loi du gaz parfait.

Ce résultat peut aussi s'écrire

avec cv= 3/2 R pour les gaz monoatomiques et cv = 5/2 R pour les gaz diatomiques.

Transformations isobares

Isobare signifie pression constante.
Nous savons:

  • d'après la définition du travail:
  • Par différentiation de la loi du gaz parfait à pression constante:

    Donc:
  • Théorème du viriel:
    (Monoatomique)
    (Diatomique)
  • Première loi de la thermodynamique:
Par simple substitution:
(monoatomic)
(diatomic)
ou
(monoatomic)
(diatomic)
Par intégration:

Il est alors possible de trouver V en utilisant la loi du gaz parfait.
Le résultat précédant peut aussi s'écrire

avec cp=5/2 R pour les gaz monoatomiques et cp=7/2 R pour les gaz diatomiques.
Deux résultats supplémentaires:
cp-cv = R pour les gas mono et diatomiques.
= 5/3 pour les gas monoatomiques et = 7/5 pour les gas diatomiques.

Transformations isothermes

Isotherme signifie température constante.
Nous savons:

  • Loi du gaz parfait.
  • Théorème du viriel:
    dU = 0
  • Première loi de la thermodynamique:
  • Travail exercé sur un fluide:
Par simple substitution:

Par intégration,

Transformations adiabatiques

Adiabatique signifie sans échange de chaleur.
Nous savons:

  • Par différentiation de la loi du gaz parfait:
  • Travail exercé sur un fluide:
  • Théorème du viriel:
  • Parce que la transformation est adiabatique:
  • Première loi de la thermodynamique:
Par simple substitution:

Par séparation des variables:

Par intégration: